Salaperäiset logaritmit

Olen joskus kirjoittanut tällä palstalla laskemisesta, itse asiassa montakin kertaa. Ja tässä ei ole niinkään kysymys matematiikasta, vaan ihmiskunnan kulttuurihistoriasta. Kun ihmisten välinen vuorovaikutus historiamme alkuhämärässä alkoi vähitellen lisääntyä ja käydä mutkikkaammaksi, syntyi tarve laskea – ja samalla alkoi kehittyä myös laskemisen taito. Metsästäjillä ja kalastajilla oli tarve jakaa saalis reilusti, kauppiaat laskivat tavaroiden hintoja eri suuruisille myyntierille, maanmittareilla oli tarve jakaa ja lohkoa maata oikeudenmukaisesti. Rakentajat tarvitsivat laskutaitoa, samoin teknikot ja insinöörit. Samalla siinä keksittiin erilaisia lukujen lajeja, ja myös erilaisia laskentaoperaatioita. Laskemista kehittyi myös abstraktimpaa matematiikkaa. Kaikki tämä on tavattoman kiehtovaa. Se todella on kulttuurihistoriaa, aivan erityinen osa sitä. Olenkin julkaissut aiheesta myös yleistajuisen kirjoituksen lehdessä Tieteessä tapahtuu.
https://journal.fi/tt/article/view/76494/37770

 Nyt on tarkoitus kertoa logaritmeilla laskemisesta. Tämä voi kuulostaa pelottavalta, mutta se ei ole sitä. En nimittäin aio ahdistaa lukijaa kertomalla logaritmifunktioista ja niiden ominaisuuksista. Pelkästään edellisestä lauseesta kun voi mennä kieli solmuun. Sen sijaan kerron aivan konkreettisesti, miten ”logaritmeilla laskeminen” tapahtuu. Itse kävin lukion 1960-luvun lopulla, ja silloin laskimme koulussa logaritmeilla. Tämä tapahtui ennen taskulaskimien keksimistä. Ja lukija arvaa oikein: kun taskulaskin tuli, se passitti logaritmit kerralla historian hämärään. Logaritmien kukoistuskausi kesti vain noin 300 vuotta. Mutta tuona aikana tapahtui kiehtovia asioita.
Logaritmifunktio matemaattisena käsitteenä keksittiin 1600- luvulla, ne keksi skotti John Napier. Samalla keksittiin myös logaritmeihin perustuva laite: laskuviivain eli laskutikku. Ja kyllä vain, taskulaskin lopetti myös tämän laitteen käytön. Itselläni on tallessa parikin laskutikkua, ja joskus olen esitellyt niitä nuoremmille vierailleni. He ovat olleet varsin ihmeissään.

Mutta asiaan: miten logaritmeilla lasketaan ja miksi? Siihen tarvitaan eräs olennainen apuväline: logaritmitaulut. Se on pieni kirjanen, missä on valtava määrä numeroita. Kirjassa on esimerkiksi lueteltu kaikki luvut järjestyksessä yhdestä kymmeneentuhanteen, ja jokaisen luvun kohdalle on merkitty myös tuon luvun logaritmi, esimerkiksi viisinumeroisena lukuna. Surukseni olen hukannut omat logaritmitauluni, niitäkin olisi mukava esitellä.

Jotain täsmällistä pitäisi ehkä kertoa näistä ”logaritmeiksi” kutsutuista abstrakteista hirviöistä. Logaritmilla on aina joku kantaluku, ja yleisesti käytetään ns. Briggsin logaritmeja, joiden kantaluku on 10. Ja nyt hieman aivovoimistelua. Jonkun luvun logaritmilla tarkoitetaan sitä potenssia, johon kantaluku pitää korottaa, jotta saataisiin tuo luku. Esimerkiksi Briggsin logaritmi luvusta 1000 on kolme, koska 1000 on kymmenen potenssiin kolme.

Miksi ihmeessä nämä kauhean hankalat luvut on keksitty? Siksi, että logaritmien avulla kerto- ja jakolaskut voidaan muuttaa yhteen- ja vähennyslaskuiksi. Se tapahtuu seuraavasti. Haluamme kertoa keskenään luvut A ja B. Etsitään logaritmitaulusta kumpaakin lukua vastaavat logaritmit, logA ja logB. Sitten nämä lasketaan yhteen, ja haetaan logaritmitaulukosta luku, joka vastaa tämän summan logaritmia. Ja siinä se vastaus on! Jakolasku tapahtuu samalla tavalla, nyt vain logaritmit vähennetään toisistaan. Logaritmitauluista löytyy myös trigonometristen funktioiden logaritmeja, niin että sinien, kosinien ja tangenttien laskeminen on yhtä suoraviivaista.

Selitys logaritmien käytölle on siis puhtaasti käytännöllinen: yhteen- ja vähennyslaskut kynällä ja paperilla ovat paljon helpompia ja nopeampia kuin kerto- ja jakolaskut, joissa lisäksi tapahtuu helposti virheitä. 1600-luvulta lähtien merenkulku ja tähtitiede kehittyivät voimakkaasti, ja kummallakin alalla tarvitaan paljon laskemista. Laskemista tarvittiin myös nopeasti kehittyvissä teknisissä tieteissä. Laskemiselle oli siis syntymässä jatkuvasti kasvavaa kysyntää.

Entä mistä nämä logaritmitaulut saadaan? Ne on aikanaan laskettu käsin. Jokaisen logaritmin laskeminen tapahtuu pitkänä sekvenssinä yksinkertaisia toistuvia perusoperaatioita. Kuvailin edellä koulussa käyttämääni kymmenentuhannen luvun logaritmitaulukkoa, jossa kukin logaritmi oli laskettu viiden merkitsevän numeron tarkkuudella. Jokaisen logaritmin tuottaminen on vaatinut kymmenien tai jopa satojen tuntien uurastusta. Kun taulukoisss on 10 000 luvun logaritmit, laskemisen määrä on ollut sunnaton.

Logaritmitaulujen laatiminen on vaivalloista, yksitoikkoista ja pikkutarkkaa työtä. Laskijoiksi palkattiinkin yleensä naisia, koska heille voitiin maksaa pienempää palkkaa. Ja naisia pidettiin muutenkin tunnontarkkoina työntekijöinä. Näistä laskijoista käytettiin nimitystä ”computer”. Historiallisesta näkökulmasta käsitys naisten heikosta laskupäästä on selvästi vailla perää – tuskin siihen enää kukaan uskookaan.

Logaritmitaulukoiden valmistamisella oli hieman yllättävä sivuvaikutus. Se nimittäin vaikutti jopa ratkaisevasti tietokoneen keksimiseen. Tarvittiin yhä tarkempia logaritmitauluja, ja ne vaativat yhä enemmän työtä. Lisäksi tauluihin jäi usein virheitä, ja se saattoi olla jopa kohtalokasta, koska niitä tarvittiin laivojen navigoinnissa. Niinpä matemaatikot ja keksijät alkoivat haaveilla laskukoneista, joiden avulla työ olisi tarkempaa ja nopeampaa. Varhaisia yrittäjiä olivat Gottfried Leibniz ja Blaise Pascal, heidän koneensa eivät kuitenkaan olleet erityisen hyödyllisiä.  

Mekaanisissa laskukonissa pisimmälle pääsivät 1800-luvun puolivälissä britti Charles Babbage ja hänen työtoverinaan toiminut Augusta Ada King, Lovelacen kreivitär. Babbagen keksimä kone, erotuskone eli difference engine perustui jatkuvasti toistettaviin vähennyslaskuihin, siitä nimi. Pian Babbage keksi vielä tehokkaamman koneen: analyyttisen koneen, ja Adaa puolestaan pidetään ohjelmoinnin keksijänä. Koneesta oli tuleva massiivinen, ilmeisesti sitä olisi käytetty höyrykoneiden voimalla. Hanke oli kuitenkin liian vaikea, ja se sortui traagisesti teknisiin ja taloudellisin ongelmiin ja mutkikkaisiin ihmissuhteisiin. Lisäksi Ada kuoli varsin nuorena. Olen kertonut tästä aiemminkin tällä palstalla.  

Babbagen kone oli aloittamassa uutta aikakautta, jonka tunnusmerkkejä olisivat valtavat höyrykoneiden voimalla toimivat tietoja käsittelevät koneet. Se tulisi olemaan loisteliaan viktoriaanisen teknologian voittokulkua, sitä luonnehtisivat erilaiset höyrykäyttöiset kulkuneuvot ja tehtaat, ja jopa mekaaniset höyryihmiset – sanaa ”robotti” ei tuolloin vielä oltu keksitty. Höyryvoiman suuri tulevaisuus ei kuitenkaan toteutunut. Adan ja Babbagen seurapiireihin kuului myös Michael Faraday. Ja hän oli jo keksinyt sähkömagneettisen induktion. Höyrykoneiden alasajon lähtölaskenta oli alkanut, oltiin siirtymässä vielä ihmeellisempään sähkön aikakauteen. 

Höyrykäyttöiset laskukoneet eivät olleet pelkästään Babbagen visioita. Kuuluisa matemaatikko Gottfried Leibniz oli jo yli sata vuotta aikaisemmin haaveillut mekaanisista ajattelukoneista ja jopa ajattelevista tehtaista. Oman aikamme tieteiskirjallisuus on kuitenkin löytänyt teollistuvan Englannin utooppisen höyrymaailman, sitä kuvaavasta kirjallisuudesta käytetään nimeä steampunk. William Gibson ja Bruce Sterling ovat jopa sijoittaneet Babbagen kehittelemän laskukoneen romaaniinsa The Difference Engine. 

 Adan ja Babbagen hankkeeseen kietoutuu myös viktoriaanisen ajan kauhuromantiikkaa. Ada oli runoilija lordi Byronin matemaattisesti lahjakas tytär. Lordi Byron oli noihin aikoihin viettämässä ystäviensä kanssa aikaa huvilassa Genevejärven rannalla, ja Byron ehdotti heille kilpailua: kuka kirjoittaisi pelottavimman kauhutarinan. Mary Shelley voitti, ja tunnemme hyvin kertomuksen tohtori Frankensteinin luomasta hirviöstä. Se oli kuolleiden ihmisten ruumiinosista rakennettu keinoihminen, joka herätettiin henkiin sähkön avulla. 

Laskukoneiden kehitys ei pysähtynyt Babbagen ja Adan epäonniseen hankkeeseen, se alkoi nyt edetä kohti nykyaikaisia tietokoneita. Kehityksen uuteen vaiheeseen vaikuttaneita henkilöitä olivat muiden ohella Alan Turing ja John von Neumann, heistäkin olen kirjoittanut blogiini. Aluksi hammasrattaat korvattiin sähkömekaanisilla releillä, ja sitten elektroniputkilla ja puolijohteilla. Kun ensimmäiset käytännössä toimivat koneet saatiin aikaan 1940-luvun lopulla, havaittiin kummallinen paradoksi. Nuo koneet oli kehitetty laskemaan logaritmitauluja ja muita teknisiä taulukoita, mutta sitten oivallettiin ettei tällaisia tauluja edes tarvittu. Tietokoneet pystyivät laskemaan tarvittavat funktiot suoraan, ei enää ollut tarvetta tehdä sitä logaritmitaulujen kautta.

Tarkastellaan nyt lähemmin, mitä tekemistä logaritmeilla oli purjelaivakauden navigoinnin kanssa. On selvää, että kun purjehdittiin avarilla valtamerillä, oli aivan olennaista tietää, missä ollaan ja minnepäin mennään. Mutta: kunnollisia karttoja ei tuohon aikaan ollut, ja tarkka paikanmäärityskin oli lähes mahdotonta. Niin, siis lähes, mutta jotain piti yrittää. Onneksi valtameret ovat todella valtavia, ja enimmäkseen pelkkä aavaa merta. Muuten merenkulku olisi ollut mahdotonta. Maan saattoi toki erottaa 20-40 kilometrin päästä, jos sää oli hyvä. Niin, jos…

Purjelaivassa piti olla ainakin kaksi pätevää navigaattoria. Yleensä ne olivat kapteeni ja perämies. Kaksi, sillä jos navigaattori kuolisi kesken matkan, alus olisi tuhoon tuomittu. Tunnetaan tapaus, missä sekä kapteeni että perämies sattuivat molemmat kuolemaan. Onneksi aluksessa sattui olemaan mukana kapteenin vaimo. Hän opetteli navigoimaan, ja johdatti aluksen lopulta turvasatamaan.

Navigaattori tarvitsee teknisiä apuvälineitä. Tarvitaan jonkinlainen kartta, sekä kyniä, astemitta, harppi ja viivoitin. Niiden avulla voidaan määritellä kulloinkin tarpeellinen kurssi eli kompassisuuta, jonne purjehditaan. Kunhan ensin tiedetään, missä ollaan. Kompassi onkin asennettu ruorin lähelle, se on aivan olennainen osa purjehtimista. Sitten se tärkein taito, eli paikanmääritys. Sitä varten jo muinaiset merimiehet käyttivät yksinkertaisia kulmanmittauslaitteita kuten astrolabia. Niistä kehittyi 1700-luvulla sekstantti. Siinä on pieni kaukoputki, tarkka kulma-asteikko 60 asteen laajuudelta ja muutamia pikku peilejä. Sekstantin avulla voidaan mitata taivaankappaleiden korkeus horisontista. 

Ja jotta tällaisista mittauksista olisi mitään hyötyä, tarvitaan avuksi aivan erityinen taulukkokirja: merenkulun almanakka eli the Nautical Almanac. Se sisältä tiedot eri taivaankappaleiden asemista eri leveysasteilla. Almanakkaa alettiin julkaista vuonna 1767, ja sellainen pitää edelleen olla suurissa laivoissa siltä varalta, että satelliittipaikannus menisi epäkuntoon. 

1700-luvulla keksittiin merenkulkijoiden tarkkuuskello eli laivakronometri. Siitä tuli laivoille tavattoman tärkeä apuväline. Sekstantin avulla voidaan määrittää leveyspiiri, mutta pituuspiirin määrittämisen oli käytössä vain hyvin karkeita keinoja. Tarkka kello mullisti tilanteen. Esimerkiksi havainnoidaan se hetki, jolloin aurinko on korkeimmillaan horisontista, ja verrataan sitä taulukoihin. Kronometrin käyntitarkkuus ja auringon korkeimman aseman hetken määritystarkkuus vaikuttavat paikantamiseen. Yhden sekunnin aikana maapallon pinta liikkuu päiväntasaajan lähellä noin puoli kilometriä. Parhaimmillaan sekstantilla päästään alle viiden kilometrin paikannustarkkuuteen, kunhan kronometrin käyntivirhe matkan aikana jää sekuntien luokkaan. Joka tapauksessa paikanmääritys edellyttää laskutoimituksia, ja sitä varten kipparin työkaluihin kuuluvat vielä logaritmitaulut.

Voi olla yllättävää, että tapaamme logaritmitaulut myös maamme kirjallisuushistoriassa. Kustavilainen Volter Kilpi (1874 – 1939) on tunnettu erityisesti meriaiheisista kirjoistaan, ja Alastalon salissa on monesti äänestetty jopa parhaaksi suomalaiseksi romaaniksi. Erityisen väkevä teos on novelli nimeltä Kaaskerin Lundström. Se kertoo kapteenista, joka humalapäissään ajaa laivansa, Raha-Rambergin fregatin kiville Gotlannin edustalla, hukuttaen laivapoikaa lukuun ottamatta koko miehistön. 

Siitä alkaa vuosikymmeniä jatkuva hirveä katumustyö. Lundström alkaa opettaa merenkulkuoppia tuleville kippareille, jotta tällainen onnettomuus ei koskaan toistuisi. Hieman Aleksis Kiven Seitseän veljeksen lukkarin koulun tapaan Lundström takoo raivoisalla vimmalla ja viinapalkalla logaritmeja ja astelukuja jukuripäisten tulevien kippareiden koviin kalloihin. Kertomus on hurjuudessaan aivan omaa luokkaansa, alusta loppuun sitä hallitsee Lundströmin katkera viinanhuuruinen monologi.

 

Navigointia elämän ulapoilla

Voi pientä juhlijaa, aamu alkaa sarastaa,

kello viisi on.

Vaellat yössä yksinään, väsymys käy jo käpälään,
et löydä tietä kotiin...

Tove Jansson: Juhlijan laulu. 

Lapsena ihmettelin yhtä asiaa kovasti. Sekä vanhemmat että leikkitoverit puhuivat eksymisestä - ja joskus olin tosiaan eksynyt itsekin. En tosin vakavasti, selvisin aina jotenkin tutuille paikoille, mutta ehdin kuitenkin säikähtää. Eksymisen tunne oli ainakin itselleni enemmän pelottava kuin kiihdyttävä. Kaupunkilaisena en ole koskaan pelännyt kaupunkiin eksymistä, se ei minusta ollut edes mahdollista. Mutta maalla niin voi aivan helposti käydä. 

Mutta se todellinen ihmettelyn aihe minulla oli: eivätkö eläimet koskaan eksy? Mistä eläin tietää, minne sen pitää mennä? Mitkä ovat niiden kotinurkkia, ja miten ne ovat niihin kiintyneet? Ja tunteeko eläin eksymisen pelkoa, ja eksyykö eläin joskus? Ja löytäkö se silloin koskaan kotiin?

Tämä on taas eräs asia, jonka valtavan tärkeyden olen oivaltanut vasta viime vuosina. Tilassa liikkuminen, paikan ja sijainnin tunne ja kyky liikkua erialaisissa paikoissa on eräs ihmisenä olemisen perusasioista. Oikeastaan se on tunne. Ja varmaan se on myös eläimenä olemisen perustunteita.

Minusta näyttäisi, että neurotiede on tarjoamassa vastauksia, joilla on pelkän orientoitumisen mekanismin tuolle puolen meneviä ja evolutiivisia ulottuvuuksia.

Eläinten hermostossa - jopa hyvin yksinkertaisilla eliöillä - on kartta niiden ympäristöstä. Kehityksen myötä nuo hiljalleen monimutkaistuvat eliöt alkavat muistaa asioita (muisti on hermosolujen perustoiminto). Pienet alkueläimet ja madot oppiva karttamaan epämieluisia paikkoja ja hakeutumaan kohti miellyttäviä, joissa on sopiva lämpö ja ravintoa. Vähitellen tuo orientaatio johtaa jonkinlaisiin elinympäristöä kuvaaviin karttoihin. Kun eliöille kehittyy monisoluinen hermosto, tuon hermoston tärkeimpiä tehtäviä on kartoittaa ympäristö. Eliöiden sisälle muodostuu aktiivinen ja kehittyvä maailman malli.

Tämä voi kuulostaa ensin ihmeelliseltä, mutta tarkkaan ajatellen se on juuri se tekninen ratkaisu, mihin autonomisesti toimivan aktiivisen eliön hermoston on pakko päätyä.

Ihmisillä suunnistamisesta vastaava elin aivoissa on hippokampus eli aivoturso. Se kehittyy jatkuvasti, jopa niin, että jos ihminen harrastaa jatkuvaa muistinvaraista suunnistusta, tuo elin kasvaa niin että muutos havaitaan aivokuvauksessa. Ilmiö on havaittu ainakin Lontoon taksinkuljettajilla.

Ymmärrämme navigoinnin merenkulun, ilmailun ja avaruusmatkailun erityistaitona. Mutta asialla on syvällisempi tausta. Navigointi, eli hallittu tilassa liikkuminen on elämän perusasioita.

Navigoinnista puhuttaessa unohtuu helposti, että siinä on kaksi puolta. Välineiden ja periaatteiden lisäksi tarvitaan myös niitä käyttävän ihmisen henkilökohtainen panos. Navigoinnin täytyy liittyä luontevasti ihmisen synnynnäiseen kykyyn liikkua tilassa. Se täydentää ja laajentaa tuota kykyä, muodostaa laajennetun mentaalisen mielikuvamallin.

Tuntemallamme navigointitaidolla on pitkä perinne. Pohjana on jo antiikissa syntynyt kartografia sekä kulmien ja etäisyyksien mittaus. Astronomian kehitys loi vähitellen navigoinnin vankan matemaattisen ja tieteellisen pohjan. Astronominen ja uskonnollinen kulmanmittauslaite, astrolabi eli tähtilevy tunnettiin jo antiikissa. 1100- luvulla arabioppineet keksivät sen käytön avomeripurjehduksessa, paikanmäärityksen apuvälineenä. Tältä pohjalta Isaac Newton hahmotti modernin oktantin tai sekstantin periaatteen, ja 1700- luvulla niitä alettiin käyttämään valtamerillä purjehtivissa laivoissa. 

Aivan olennainen väline avomerellä on tietenkin kompassi. Se on tarpeen jo rannikko­purjehduksessa, ja siksi kompassi onkin vanhin navigointi-instrumentti. Magneettikompassi tunnettiin vaihtelevasti jo ennen ajanlaskun alkua. 

Ilmeisesti Viikingit suunnistivat ensimmäisinä länsimaisina merenkävijöinä ilmansuuntien mukaan, arvioiden suunnan auringon ja tähtien avulla. On säilynyt yksinkertainen aurinkokompassi: puulevy, jonka avulla arvioidaan etelän suunta ja keskipäivän hetki. Eurooppalaisten kielten nimitykset ilmansuunnille tulevat muinaisnorjasta.

Leveysasteen eli latitudin määritys oli riittävän tarkkaa optisilla välineillä, mutta pituuspiirin eli longitudin määritys oli pitkään vaikeaa, Liikkuvasta laivasta ei voitu tehdä riittävän tarkkoja havaintoja - vaikka Galileo Galilei ehdottikin Jupiterin kuiden liikkeiden hyödyntämistä. Vasta kronometrin eli riittävän tarkan kellon keksiminen 1700- luvulla ratkaisi longitudiongelman. Yhdessä sekunnissa maapallon ekvaattori liikkuu puolisen kilometriä. Kronometrin tuli siis olla niin tarkka, että sen käyntivirhe pitkänkin merimatkan aikana saisi olla vain sekuntien luokkaa. Kronometrin lisäksi tarvittiin oktantti tai sekstantti ja taivaankappaleiden asemaa kuvaavat taulukot: the Nautical Almanac.

Sekä pituus- että leveyspiirin määritys edellyttivät joka tapauksessa optisia havaintoja taivaankappaleista, eli sään tuli olla riittävän selkeä. Pohjoisilla ja eteläisillä merillä sää on usein huono. Taivas saattaa olla päiväkausia pilvessä. Silloin pitää turvautua arvioon - tai oikeammin laskemiseen. Lokilla mitatusta aluksen nopeudesta ja kompassisuunnasta voidaan laskea aluksen sijainnin muuttuminen verrattuna viimeiseen onnistuneeseen paikanmääritykseen. Tätä menetelmää kutsutaan merkintälaskuksi, ja sekin on navigoinnin perusasioita. Oppikirjoissa korostetaan merkintälaskun epävarmuutta. Onkohan sen englanninkelinen nimi sen takia dead reckoning. Huonossa säässä se on kuitenkin ainoa mahdollisuus. 

 

Merkintälaskun laiminlyönti tai sen huono laatu johtivat ilmeisesti siihen, että vuonna 1588 taistelusta vetäytyvä Espanjan suuri armada menetti kymmenittäin laivoja haaksirikoissa Irlannin pohjoisrannikolla. Syysmyrskyä kesti tuolloin kahden viikon ajan.

Jossain merenkulun historiaa kuvaavassa kirjassa olen nähnyt kuvan laitteesta, jolla voitiin helpottaa merkintälaskua. Se koostuu pyöreästä puulevystä,johon on piirretty väli-ilmansuuntien mukaan säteitä, ja niillä säännöllisin välein reikiä. Purjehdussuuntaa vastaavan säteen reikiin asetettiin tappeja, joita siirrettiin matkan jatkuessa. Laitteessa saattoi olla myös naruja, ja suorakulmainen alue, jonne eri purjehdussuunnissa kuljetut matkat koottiin. Laite saattoi liittyä viikinkien purjehduksiin mutta en ole varma. Kuvaa en hakemisesta huolimatta ole löytänyt uudelleen, enkä edes muista laitteesta käytettyä nimeä. Se saattoi olla tuulikompassi tai narukompassi, tai sitten jotain muuta.

Välineiden avulla ihmisen luontaista suunnistuskykyä voitiin tarkentaa ja tehostaa - sillä ihminen on kuitenkin klassisen navigoinnin keskiössä. Legendaarinen virolainen merikapteeni Kihnu-Jõnn eli Enn Uuetoa (1848-1913) ei ollut saanut perinteistä merenkulkukoulutusta. Hänen tunnustettu taitonsa liikkua merellä saattoikin perustua luontaiseen suuntavaistoon, jota hän oli täydentänyt omilla havainnoillaan merillä kulkiessaan. Tällaisella taidolla on rajansa. Hänen palatessa ensimmäiseltä Atlantin ylitykseltään tuulet ja Golf-virta veivät hänen laivansa Englannin kanaalin asemasta Pohjois-Norjaan. Itämeren rannoilla sekstantti oli ollut jokseenkin hyödytön, mutta Atlantilla oli toisin.

Ilmeisesti Kihnu-Jõnn harjoitti eräänlaista mentaalista mielen malleilla navigointia. Tämä on tietenkin spekulointia, emme voi tietää. Mutta tunnetaan toinenkin poikkeuksellinen navigointiperinne, joka perustuu länsimaisista poikkeaviin mielen malleihin. Voimme tutkia sitä, sillä polynesialaiset ovat edelleen keskuudessamme.

Polynesialaiset elävät laajalla alueella eteläisen Tyynenmeren saarilla, ja navigointi on olennainen osa heidän kulttuuriaan. He ovat taitavia merenkulkijoita. Purjekanooteillaan he tekevät jopa satojen merimailien pituisia matkoja kaukaisillekin saarille, jotka ovat kaukana näköpiirin takana, varmasti ja eksymättä ja ilman moderneja välineitä. Miten he sen tekevät?

Polynesialainen navigointi perustuu perimätietoon ja mentaalisin malleihin. Erä keskeinen navigoinnin käsite on etak. Se tarkoittaa jotain kohdetta, kiintopistettä, tai tietynlaista purjehdittavaa matkaa. Etak ei välttämättä ole näkyvissä, eikä se yleensä olekaan. Riittää kun navigaattori tietää, missä se on. Se on osa hänen sisäistä mielen malliaan. Toki kiintopisteitä on paljon, ja lähimmät ovat tärkeitä. Apuna käytetään tietenkin aurinkoa ja yöllä tähtien asemia. Ja tietoa merivirroista ja tuulista. Myös saarten yläpuolelle usein syntyvät pilvet ja merilinnut antavat navigoinnin lisätietoa.

Polynesialaiset eivät tee karttoja, he eivät edes tunne sellaista käsitettä. Kartta on länsimaista kulttuurivaikutusta, jonka he ovat tulleet tuntemaan vasta myöhemmin. Perinteiselle navigoinnille kartta ei anna mitään. Mutta polynesialaiset osaava rakentaa tikuista ja vahasta navigointimalleja. Ne eivät sisällä geometrista paikkatietoa, vaan käsitesuhteita. Ne ovat navigoinnin mielikuvamalleja.

Tietoa polynesialaisesta navigoinnista: Donald S. Johnson ja Juha Nurminen: Meritie – Navigoinnin historia (2007); Thomas Gladwin: East is a big bird (1970).