Lapset, matikkanerot?

Minulle opetettiin koulussa matematiikkaa perinteisellä tavalla. Ensin opeteltiin luettelemaan lukusanoja ja sitten harjoiteltiin peruslaskutoimituksia, yhteen- ja vähennyslaskua. Siitä ei edes käytetty vaikeaa sanaa matematiikka, meillä puhuttiin laskennosta. Tämä tapahtui siis vuonna 1957, Sputnikin vuonna. Minulla on asiasta vain hämärä muisto enkä tiedä tehosiko opetus, koska osasin jo laskea.

Kokonaan toisenlaista oli meno, kun vanhin lapseni meni kuluun 80-luvun alussa. Hänen ensimmäinen matematiikan oppikirjansa löi minut ällikällä. Matematiikan opetus alkoi joukko-opista, ja minun oli vaikea ymmärtää tehtäviä, joista alakoululaisen piti selviytyä. Tiesin toki, että matematiikan opetus oli uudistunut, ja joukko-oppi oli myös tuttua korkeakuluopinnoista. Tehtävät eivät olleet matemaattisesti vaikeita. Asia oli päinvastoin, pohdin pitkään, oliko tarkoitus pilkata oppilaita, vai oliko tehtävissä koira haudattuna. Koiraa ei kuitenkaan löytynyt, kysymys oli vain lasten ymmärryskyvyn karkeasta aliarvioimisesta. Ehkä oppikirjan tekijällä ei ollut omia lapsia. No kävi sitten niin, että kun nuoremmat lapseni menivät kouluun, joukko-oppi oli jo unohdettu ja matematiikan opetus oli taas raiteillaan. Mistä tässä matikkaseikkailussa oli oikein kysymys?

Vastaus on jo mainittu: syynä oli Sputnik. Kun Neuvostoliitto ampui Sputnik-I satelliitin avaruuteen syksyllä 1957, se aiheutti yhdysvalloissa niin sanotun sputnik-paniikin. Ajateltiin, että Neuvostoliiton sensaatiomainen menestys avaruussektorilla oli seurausta sikäläisistä ylivertaisista matematiikan taidoista, ja samalla amerikkalaisten lasten matematiikkataidot koettiin heikoiksi. Syntyi ajatus uudesta matematiikasta, joka kehittäisi lapsukaisten abstraktia ajattelua, ja matematiikan opetuksen pohjaksi otettiin abstraktiksi mielletty joukko-oppi. Suomeen uusi matematiikka ehti luontevasti samaan aikaan kuin meillä aloitettu peruskoulu-uudistus.

Uuden matematiikan oppimistulokset osoittautuivat kuitenkin heikoiksi. Lapset eivät oppineet joukko-oppia, mutta he eivät myöskään oppineet laskemaan. Uusi matematiikka haudattiinkin nopeasti 1980-luvulla. On historian ironiaa, että kaiken pahan alku ja juuri, Neuvostoliitto ei edes ottanut joukko-oppia matematiikan alkeisopetukseen. Legendaarinen matemaatikko Andrei Kolmogorov ei pitänyt ajatusta hyvänä. Opetuksesta kuitenkin poistettiin länsimaiden tapaan antiikkinen Eukleideen geometria, sitä modernisoitiin.

Viime aikoina olen pohtinut matematiikan salaisuutta neuropsykologian ja ihmisen evoluutiohistorian valossa. Ehkä vanhakantainen järjestys opetella matematiikkaa ei olekaan aivan perusteeton. Mitä matematiikka oikein on, ja miten on mahdollista, että ihmiselle on kehittynyt tällainen kyky? Eläimet eivät osaa matematiikkaa – vai osaavatko?

Aloitetaan aivan perustasta. Lukumäärien ymmärtäminen näyttää olevan kaiken perusta. Ihmisillä näyttää olevan aivoissaan jonkinlainen peruslaskukyky. Ja myös jotkut eläimet pystyvät siihen! Olkoon pöydällä kolme omenaa tai vadissa viisi viinirypälettä. Näemme niiden lukumäärän välittömästi yhdellä silmäyksellä, ei ole tarpeen ryhtyä laskemaan. Mutta kun kaadamme pöydälle korurallisen pähkinöitä, tuo kyky ehtyy, nyt on pakko laskea ne yksitellen. Kyky nähdä lukumäärä välittömästi yltää ihmisellä enintään tasolle viidestä seitsemään kohteeseen. On kiintoisaa, että tällainen lukumäärä vastaa ihmisen työmuistin kapasiteettia. Pystymme pitämään tietoisessa mielessämme enintään viidestä seitsemään asiaa samanaikaisesti. Työmuistilla tuntuu olevan joku yhteys välittömän lukumäärän aistimiseen. Kun tiesimme että vadissa on viisi viinirypälettä, ajattelimme varmaankin samalla tavalla kuin monet älykkäät eläimet, kuten apinat ja eräät linnut. Lukumäärän voi aistia suoraan, ilman laskemista. Esimerkiksi linnut tietävät, montako munaa pesään on munittava, ja apinat raivostuvat, jos niiden ulottuvilla olevista herkullisista hedelmistä kähvelletään salaa yksi.

Edellisessä pähkinäesimerkissä oli pakko alkaa laskea. Ja siinä välttämätön väline on ihmisen ainutlaatuinen kieli. Se alkaa tuottaa laskemisen vaiheita ja käyttää kielen työkaluja, kuten numeroita tarkoittavia lukusanoja. Tässä on raja, jonka yli eläimet eivät pääse. Niiden kieli ei tunne lukusanoja, koska nuo sanat viittaavat abstrakteihin käsitteisiin eli lukumääriin. Eläimet toki osaavat yhdistää sanat konkreettisiin esineisiin, kuten koiranomistajat hyvin tietävät. Mutta niillä sanojen laajempi ymmärtämisen kyky rajoittuu enintään tilanteisiin. Sana ”hihna” tarkoittaa koiralle, että pian lähdetään koiraa ulkoiluttamaan.

Pohditaanpa tarkemmin, mitä lukusanat oikein ovat. Jokainen lukusana tarkoittaa tiettyä lukumäärää. Meillä on siis tietty mielikuva, joka liittyy kuhunkin lukusanaan. Kun lapsi opettelee laskemaan, on tärkeää muistaa lukusanat ulkoa. Lisäksi lukusanoista pitää opetella niiden järjestys. Pitää muistaa, mikä on kunkin lukusanan edeltäjä ja mikä on sen seuraaja. Nyt ollaan jo aivan matematiikan perusasioiden eli niin sanottujen luonnollisten lukujen ominaisuuksien äärellä. Neuropsykologisesti on kiinnostavaa, että ihmisellä on mielessään kyky muodostaa ja kyky muistaa toisiaan seuraavien asioiden sarjoja. Tiedetään, että erityisesti pikkuaivot kontrolloivat tällaisia sekvenssejä. Niiden tehtävänä on ohjata ihmisen motorisia toimintoja, ja nehän koostuvat peräkkäin tapahtuvien liikkeen osien sarjoista. Ja laskeminen peräkkäisiä lukusanoja toistamalla on juuri sitä. Huomaamme, että matematiikka on jännittävällä tavalla kytköksissä ihmisen motoriikkaan. (Pitää lisätä, että kyseessä on ilmeisesti aivojen yleisempi ominaisuus; jos ihmisen pikkuaivot vahingoittuvat tai ne joudutaan poistamaan, aivot vähitellen kompensoivat motoriikan menetyksen).

On selvää, että luonnollisia lukuja on äärettömästi. Onneksi lukusanoja ei kuitenkaan tarvitse opetella suuria määriä. Tässä tulee peliin ihmisen toinen henkinen kyky. Ihminen pystyy muodostamaan mielessään abstrakteja ryhmiä. Osaamme siis muodostaa myös peruslukusanoista ryhmiä. Apuna on aikanaan olleet sormet, ja siksi ryhmittelemme lukusanat kymmenen (tai joissain kielissä myös kahdenkymmenen) lukusanan ryhmiksi. Eli muodostamme kymmenien ryhmiä, satojen ryhmiä ja niin edelleen. Sanomme esimerkiksi kolmekymmentäviisi, emmekä tarvitse siihen kolmeakymmentäviittä erilaista lukusanaa. Näin voimme rakentaa uusia lukusanoja vaikka kuinka suurille luvuille. Ja yllätys, tässä tulikin vihdoin joukko-oppi peliin. Emme kuitenkaan tarvitse joukko-oppia oppiaksemme laskemaan, vaan laskeminen havainnollistaa meille joukko-oppia. Tätä ihmisen kykyä tunnistaa ryhmiä eli joukkoja sanotaan hahmontunnistukseksi, se on myös eräs hermoston perusominaisuuksia. Se on oikeastaan koko ihmisen abstraktin ajattelukyvyn perusta. Sillä hahmot eivät ole aistispesifisiä, ne ovat abstrakteja eli riippumattomia konkreettisesta maailmasta. Aivot tekevät abstraktioita kaikesta mahdollisesta: visuaalisista hahmoista, kuulohavainnoista ja ennen kaikkea myös toisista hahmoista.

Aivot tekevät näin myös lukuja tarkoittaville joukoille. Nekin ovat abstrakteja, lukujahan ei oikeastaan ole edes olemassa. Tästä tosin filosofisesti suuntautuneet matemaatikot tai matemaattisesti suuntautuneet filosofit väittelevät. Ovatko luvut olemassa, ja onko matematiikka olemassa? Tai ovatko ne todellisia? Tähän pragmaatikot toteavat, että niin tai näin, ne ovat ainakin hyödyllisiä!

Kun olemme oppuneet tunnistamaan ja ilmaisemaan lukumääriä, seuravassa vaiheessa aletaan opetella peruslaskutoimituksia. Se tarkoittaa oikeastaan vain lukusanojen kuvaamien joukkojen uudelleen järjestelyä. Kuulostaa näin ilmaistuna monimutkaiselta, mutta kuten kokemuksesta tiedämme, sen oppii varsin helposti harjoittelemalla.

Laskento ei siis olekaan niin tylsää ja yksinkertaista kuin joskus ajatellaan. Se on ovi abstraktin ajattelun maailmaan. Matematiikan ihanuudet eivät rajoitu kokonaislukuihin. Pian ihmiskunnan historiassa opittiin laskemaan myös murtoluvuilla ja reaaliluvuilla – ja laskemaan opettelevat lapset sukeltavat aikanaan myös tähän uuteen maailmaan. Ja sekin on hyvin luonnollista, havainnollista ja jännittävää. En nyt aio selostaa näitä matematiikan alueita, koska olen jo laatinut niistä blogikirjoituksen, jonka kiinnostuneet voivat lukea.

Aikanaan uuden matematiikan suunnittelijat pudottivat geometrian pois koulujen opetusohjelmasta, jotta saataisiin tilaa joukko-opille. Se on tavallaan vahinko. Vuona 300 eaa. aleksandrialainen matemaatikko Eukleides kirjoitti geometrian kokonaisesityksen Alkeet (Stoikheia, latinaksi Elementa). Sitä käytettiin lähes sellaisenaan koulujen matematiikan oppikirjana vielä 1900-luvun alkupuolellalla. Geometria opettaa loogista ajattelua, ja sen erityinen ansio on, että sen katsotaan opettavan tieteellistä ajattelua. Eukleideen geometrian idea on, että siinä on joukko aksiomeja eli perusoletuksia, joita ei määritellä. Intuitiivisesti aksiomeista voidaan muodostaa lauseita, eli eräänlaisia väitteitä. Geometriassa opetellaan muodostamaan ja todistamaan tällaisia lauseita, eli vahvistamaan, oliko lauseen perustana oleva intuitio oikea. Tosin myöhemmät matemaatikot ovat riistäneet Eukleideen geometrialta osan sen glooriasta. Aksiomeja on siinä aivan liikaa, ja ne ovat osin ristiriitaisia ja epäselviä. Tiukasti ottaen Eukleideen geometria vuotaa kuin seula.

Silti geometria havainnollistaa hyvin tieteellistä ajattelua. Sen tulisi perustua yksinkertaisiin oletuksiin ja ajatukseen väittämien todistamisesta tai ainakin perustelemisesta. Ajattelulle on muunkinlaisia malleja, kuten logiikka ja ohjelmointi. Nekin on tuotu kouluopetukseen, ja hyvä niin. Sinne pitäisi lisätä myös aikanaan koulussa opetettu keskustelutaito eli retoriikka ja väittelytaito eli dialektiikka. Järkevä ja tehokas ajattelu kun ei kuulu ainoastaan tieteeseen, se on kansalaistaito, ja yhtä lailla hyödyllistä arkipäiväisessä elämässä

Salaliittoteoriat: hyviä uutisia

Koronaepidemian aikana erilaiset salaliittoteoriat ovat saaneet uutta virtaa. Joko virukseen ei uskota, sitä pidetään keinotekoisena, tai epidemiaa itseään pidetään USA:n tai Kiinan hallituksen tai superrikkaiden firmojen tai korporaatioiden salajuonena. Salaliittoteorioita löytyy vaikka kuinka paljon, toinen toistaan oudompia, korona on vain yksi monista. Mutta teorioissa ei ole outoa niiden outous, vaan se, kuinka monet ihmiset ovat alkaneet niihin uskoa.

Teorioiden levittämiselle on etsitty yhteiskunnallisia syitä, kuten auktoriteettien kriisi, joka on ollut pitkään näkyvissä kehittyneissä valtioissa. Tai syyksi ehdotetaan teknologiaa, eli valtavasti yleistynyttä sosiaalisen median käyttöä. On helppoa arvata, että nämä tekijät voivat hyvinkin olla ilmiön taustalla. Vaikka vakuuttavan tieteellisen evidenssin hankkiminen niiden vaikutuksesta onkin vaikea hankkia. Voimme harrastaa vain epäsuoraa päättelyä. Esimerkiksi: korreloiko sosiaalisen median käyttö vainoharhaisuuden kanssa. Ja jos tällainen korrelaatio sattuisi löytymään, kumpi on syy ja kumpi seuraus. Vai onko takana joku muu vaikuttaja?

Salaliittoteorioille voidaan etsiä myös psykologisia syitä. Koronavirusepidemia on monimutkainen ilmiö. Siihen liittyy todella paljon erilaisia yksityiskohtia, joita kaikkia edes asiantuntijat eivät hallitse. Mutta ilmiön monimutkaisuus ei oikeastaan selitä salaliittoteorioita, vaan ilmiön huomioarvo. Voimme ottaa yksinkertaisemman esimerkin. Estonian uppoaminen sai liikkeelle joukon outoja teorioita. Vaikka onnettomuustutkinta selvitti tapausten kulun vakuuttavasti, irronnut visiiri löytyi ja nostettiin, auennut keulaportti näkyy robottikameran kuvissa, vakauslaskelmat osoittavat alustyypin vaarallisuuden, vastaava onnettomuus oli tapahtunut aiemmin, ja eloonjääneiden kertomukset sopivat onnettomuuden kuvaukseen. Mikään tosiasioiden vyörytys ei horjuta salaliittoon uskovan ihmisen vakaumusta.

Niin, miksi ihmiset uskovat epäloogisiin ja järjettömiin teorioihin. Tai miksi ihmiset ylipäätään uskovat johonkin. Tässä on kyllä psykologisen näytön paikka.

Tuoreissa uutisissa selitykseksi on nostettu niin sanottu Dunning-Kruger ilmiö. Vuona 1999 Justin Kruger ja David Dunning raportoivat psykologisista kokeista, jolla testattiin ihmisten käsityksiä omista kyvyistään. Löydöksestä käytetään nimeä ylivertaisuusharha. Lyhyesti sanottuna, mitä heikommat kyvyt tai tiedot ihmisellä on, sitä korkeammalle hän ne itse arvioi. Salaliittoteorioihin sovellettuna se vihjaa, että vain tyhmät ja tietämättömät uskovat niihin. Asiassa voisi olla jotain perää, mutta toisaalta se tuntuu turhan omahyväiseltä, elitistiseltä ja suoraviivaiselta väitteeltä. Dunning-Kruger ilmiö on kyllä totta ja kokeet on helppo toistaa, mutta mitä se merkitsee käytännössä, monimutkaisemmissa elämän tilanteissa? Sitä paitsi oma kokemushistoriani kertoo jotain muuta. Myös älykkäät, koulutetut ja paljon lukeneet ihmiset näyttävät varsin usein uskovan järjenvastaisiin asioihin. Entä sitten uskonnot, nekin perustuvat irrationaalisiin oletuksiin, silti emme pidä uskovia tyhminä emmekä tietämättöminä.

Jo 1980-luvulla Daniel Kahneman oli tutkinut päätöksentekoa epävarmoissa tilanteissa, tämä aihe kiinnostaa kovasti erityisesti taloustieteilijöitä. Kahnemanin löydökset ovatkin varsin kiinnostavia. Tärkein löydös oli että ihmisen päätöksenteko on epärationaalista, se ei perustu juurikaan faktatietoon eikä päättelyyn. Pikemminkin hän havaitsi, että päätöksenteko on automaattista, nopeaa ja lähes vaistomaista. Sen pohjana on siis ilmeisesti aiemmin opittua käyttäytymistä, ja mahdollisesti jopa periytyviä reaktioita. On tosin olemassa toinenkin päätöksenteon mekanismi. Ihminen voi nojata päätöksissään myös järkeilyyn, mutta se on työlästä, hidasta ja epäluotettavaa.

Kahneman ei törmännyt omissa kokeissaan ylivertaisuusharhaan, vaan johonkin yhtä kiinnostavaan: nimittäin asiantuntijaharhaan. Kun päätökset liittyvät koehenkilön henkilökohtaiseen asiantuntemukseen, päätöksenteosta tuli silmiinpistävän ylimalkaista ja nopeaa. Asiantuntija ei nähtävästi hevillä viitsi vaivata aivojaan. Kahneman löysi kuitenkin jotain ylivertaisuusharhaa muistuttavaa, sitä voisi kutsua varmuusharhaksi. Mitä vähemmän ihminen tietää puheena olevasta asiasta, sitä lujemmin hän uskoo, että oma mielipide on oikea.

Edellä selitetyt Dunning-Krugerin ja Kahnemnin kuvaamat kognitiiviset harhat eivät anna hyvää kuvaa ihmisestä järkevänä olentona. Niille voidaan kuitenkin antaa ymmärrettävä evoluutiopsykologinen selitys. Ihminen on evoluution kuluessa kehittynyt elämään vaarallisessa ja monimutkaisessa maailmassa. Hän elää kognitiivisten kykyjensä varassa, mutta myös niiden ylärajalla. Yllättävissä tilanteissa pitää reagoida nopeasti, aikaa ja hermoston energiaa ei voi haaskata tarpeettomaan pohdiskeluun.

Päästäksemme syvemmälle salaliitoteorioiden suosion taustaan, pitää mennä syvemmälle neuropsykologiaan. Kansanpsykologian mukaan ihmisen ajattelu perustuu isojen aivojen silmiinpistävän laajaan kuorikerrokseen. Tämä on totta, mutta aivokuori tekee paljon enemmän, se vastaa suurimmasta osasta automaattisia kognitiivisia reaktioitamme. Aivokuori suorittaa hyvin yleisluontoista ja kaikki aistien ja ajattelun lajit kattavaa laskentaa, jota sanotaan hahmontunnistukseksi. Aivot pyrkivät rakentamaan aistimusten ja mielikuvien tulvasta mielekkäitä ja helposti käsiteltäviä hahmoja eli merkityksiä. Tämä toiminta kattaa kaikki tajuntamme lajit, aistimuksista ja havainnoista aina monimutkaisiin selityksiin. Aivomme selittävät meille maailmaa, mahdollisimman nopeasti ja uskottavasti – jotta emme epäröisi.

Salaliittoteoriat ovat juuri tällaisia aivokuoremme tuottavia maailman selityksiä – itse asiassa kaikki maailmaa koskevat teoriamme, joihin tietoinen toimintamme nojaa, ovat juuri tällaisia selityksiä. Entä miksi toiset selitykset ovat niin outoja? Siihenkin voi neuropsykologia antaa erään selityksen. Aivomme rakentavat selitykset niistä aineksista, jotka ovat helpoiten saatavissa. Aivojen läpikäyvä taipumus on yrittää aina olla nopea ja samalla säästää energiaa. Tietysti on eroja myös siinä tavassa, jolla selityksiä aivoissamme punnitaan. Ihmisillä on vaihteleva määrä sisäistä epävarmuutta, ja epävarmuus saa usein epäröimään helppojen ja hieman mutkikkaampien selitysten väillä.

Entä onko ihminen, joka uskoo täysin järjettömiin teorioihin, sitten hullu? Nyt onkin syytä pohtia hulluuden käsitettä. Aikanaan katsottiin, että ihminen, joka ajattelee ja käyttäytyy toisin kuin enemmistö, on hullu. Uskonvainojen aikaan ajateltiin, että ei-uskovat ihmiset olivat hulluja tai kerettiläisiä, jotka myös olivat eräänlaisia hulluja. Valistus johti mielisairauden käsitteen syntymiseen. Mielisairauksilla tai mielenterveyden häiriöillä on erilaisia tunnistettavia piirteitä. Niihin liittyy joskus todellisuusharhoja, ja nuo harhat ovat tunnistettavia ja omintakeisia. Hulluus on siis varsin joustava sosiaalinen käsite. Sillä on suppea lääketieteellinen käyttöalue, ja sanaa on oikeastaan syytä karttaa, koska se on aikanaan ollut loukkaava.

Voiko ihmisellä olla todellisuuskäsityksiä, jotka hän ymmärtää harvinaisiksi, mutta pitää niitä siitä huolimatta oikeina? Ilman muuta voi, ja on monia syitä, miksi hän pitää niistä kiinni. Ensinnä, on aina mahdollista, että tuo todellisuuskäsite onkin oikea. Toiseksi, kulttuurissamme on paljon sitä tukevia ajatusmalleja eli arkkityyppejä. On tarinoita keksijöistä, tiedemiehistä, taiteilijoista tai muista merkkihenkilöistä, jotka ovat myyttisesti taistelleet koko väärässä olevaa muuta maailmaa vastaan. Ja sitten, on myös erilaisia persoonallisuustyyppejä. On luonnostaan luottavaisia, jotka iloisina takertuvat ensimmäiseen keksimäänsä selitykseen, ja on eriasteisia epävarmoja luonteita, jotka punnitsevat hyvinkin pitkään vaihtoehtoisia käsityksiä. 

Ja vielä tärkeä asia, maailmankuvat ovat myös sosiaalista valuuttaa. Niiden avulla rakennamme erilaisia lojaalisuuden ja yhteenkuuluvuuden verkkoja. Sitä paitsi aivoillamme on vahva taipumus jäljitellä, rakennamme sosiaalisuutta jäljittelemällä toisten käytöstä, ja samalla rakennamme omaa mieltämme sen mukaan.

Otsikossa lupasin hyviä uutisia salaliittoteorioiden ystäville. Ette ole hulluja! Tällaisten teorioiden rakentuminen on luonnonvoimainen ja normaali prosessi. Samalla on syytä muistaa, että tällaiset teoriat eivät yleensä ole oikeita. Tuskin mikään ihmisen päässä kehittyvä maailmanselitys on täysin oikea. Siksi suosittelen myös harrastamaan hyveitä, josta tärkein on tutkia huolellisesti ja monelta kulmalta tätä mutkikasta maailmaa.